Baris adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:
2, 4, 6, 8, 10, ... , dst.
1, 3, 5, 7, 9, 11, … , dst.
Deret
Deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Jika suatu barisan di-simbolkan dengan:
$U_{1},U_{2},U_{3}.....U_{n}$, maka $U_{1}+U_{2}+U_{3}.....+U_{n}$ adalah disebut Deret.
Contoh:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 ... $+U_{n}$
1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … $+U_{n}$
1. A. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan “b” $\mathrm{( Bilangan\ bernilai\ tetap )}$
Contoh:
2, 4, 6, 8, 10, ...
Barisan diatas merupakan barisan aritmatika karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama/tetap, yaitu 4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2.
Nilai : 2 inilah yang dinamakan beda, jadi b = 2.
Bentuk umum barisan aritmatika: $a, (a+b), (a+2b), (a+3b)$, …, $(a+(n-1)b)$
Rumus:
Beda : $b=U_{n}-U_{n-1}$
Suku ke-n : $U_{n}=a+\left ( n-1 \right )b$, atau ditulis juga dengan $U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$
Keterangan:
a = $U_{1}$ = Suku pertama,
n = banyak suku
b = Beda,
$U_{n}$ = Suku ke-n
a = $U_{1}$ = Suku pertama,
n = banyak suku
b = Beda,
$U_{n}$ = Suku ke-n
Contoh soal:
1. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: 5, 8, 11, …
Tentukan: Nilai suku ke-15 !
Jawab:
Barisan diatas, b = 3, sehingga $U_{n} = a + (n-1) b$, maka $U_{15} = 5 + (15-1) 3\rightarrow U_{15} = 47$
2. Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 5 dan bedanya = 6, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah …
Jawab:
Diketahui; a = 5 dan b = 6, maka : $U _{10}= 5 + (10-1) 6\rightarrow U_{10} = 59$
3. Diketahui suatu barisan aritmatika suku pertamanya adalah 4 dan suku ke-20 adalah 61.
Tentukan beda barisan aritmatika tersebut!
Jawab:
Diketahui: a = 4,$U_{20}= 61, maka\ beda\ barisan \rightarrow b = ?$
$U_{20}=4+\left ( 20-1 \right )b=61\rightarrow 19b=61-4=57\rightarrow b=\frac{57}{19}=3\left ( jadi\ beda = 3 \right )$
1. B. Suku Tengah Barisan Aritmatika
Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut: $U_{t} = \frac{1 }{2}(a + U_{n})$
Contoh soal:
Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah …
Jawab:
barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131
Diketahui: suku pertama, a = 5, suku ke-n: $U_{n}$ = 131
Maka suku tengah: $U_{t} = \frac{1 }{2}(a + U_{n})\rightarrow U_{t} = \frac{1 }{2}(5 + 131)\rightarrow U_{t}=68$
1. C. Deret Aritmatika $\mathrm{(atau\ disebut\ juga\ deret\ Hitung)}$
Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika.
Perhatikan barisan aritmetika berikut :
* 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , $U_{n}$
Jika kita jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut.
* 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + $U_{n}$
Bentuk umum deret aritmatika: $a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b)$
rumus: $S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$ atau ditulis juga : $S_{n}=\frac{n}{2}\left \{ 2a+\left ( n-b \right )b \right \}$ , karena $U_{n}=a+\left ( n-1 \right )b$
keterangan: $U_{n}$ = jumlah n suku pertama.
Contoh soal:
Diketahui deret aritmatika sebagai berikut: 9 + 12 + 15 + . . . + $U_{10}$
Tentukan:
a. Suku ke-10
b. Jumlah sepuluh suku pertama: $S_{10}$
Jawab:
a. Suku ke-10 $\rightarrow U_{10}=a+\left ( n-1 \right )b=9+\left ( 10-1 \right )3=36$
b. Jumlah sepuluh suku pertama:
$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 1+U_{n} \right )\rightarrow S_{10}=\frac{10}{2}\left ( 9+36 \right )=5\left ( 45 \right )\rightarrow S_{10}=225$
1. D. Sisipan pada Barisan Aritmatika
Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:
$\Rightarrow $ Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:
${b}'=\frac{b}{k+1}$
$\Rightarrow $ Banyak suku barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku:
${n}'=n+\left ( n-1 \right )k$
$\Rightarrow $ Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku:
$S'_{n}=\frac{n'}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
Keterangan:
b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku
n’ = banyak suku barisan aritmatika baru
n = banyak suku barisan aritmatika lama
k = banyak suku yang disisipkan
$S'_{n}$ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku
b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku
n’ = banyak suku barisan aritmatika baru
n = banyak suku barisan aritmatika lama
k = banyak suku yang disisipkan
$S'_{n}$ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku
Contoh Soal:
Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah …
Jawab:
Diketahui: Deret aritmatika mula-mula: 20 + 116
Suku pertama $( a )$ = 20 dan suku ke-n : $U_{n}=116;\left ( n=2 \right )$
Disiipkan : k = 11 bilangan
Maka banyaknya suku baru : $n’ = n + (n-1) k = 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13$
Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku:
$S'_{n}=\frac{n'}{2}\left ( a+U_{n} \right )\rightarrow S'_{n}=\frac{13}{2}\left ( 20+116 \right )$
Maka :
$S'_{n}=\frac{13}{2}\left ( 20+116 \right )=884$ Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884
2. Barisan Geometri
Bila kita perhatikan pada barisan 1, 2, 4, 8,…, setiap perbandingan dua suku yang berurutan adalah tetap harganya, yaitu:
$\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}\cdot \cdot \cdot =2$
Secara umum $U_{1},U_{2},U_{3}\cdot \cdot \cdot U_{n}$ adalah barisan geometri bila
$\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}=\frac{U_{4}}{U_{3}}=\cdot \cdot \cdot \frac{U_{n}}{U_{n}-1}=konstanta.$
Konstanta ini disebut rasio ((perbandingan)) dan dinyatakan dengan r. pada setiap barisan geometri berlaku:
$\frac{U_{n}}{U_{n}-1}=r$
Jadi,ciri barisan geometri adalah mempunyai rasio yang tetap
2. a. ………………n
Jika suku pertama barisan geometri $U_{1}$ dinamakan $a$ dan rasionya atau perbandingannya $r$ maka diperoleh:
$U_{1}=a=ar^{1-1}$
$\frac{U_{2}}{U_{1}}=r\Leftrightarrow U_{2}=U_{1}r=ar^{2-1}$
$\frac{U_{3}}{U_{2}}=r\Leftrightarrow U_{3}=U_{2}r==arr=ar^{3}=ar^{3-1}$
$\frac{U_{4}}{U_{3}}=r\Leftrightarrow U_{4}=U_{3}r==ar^{2}r=ar^{3}=ar^{4-1}$
Besarnya suku ke-nbarisan geometri dengan melihat pola di atas adalah sebagai berikut.
$U_{n}=ar^{n-1}$
Dengan $U_{n}$ adalah besar suku ke-n
a adalah suku pertama
r adalah rasio ((perbandingan))
Contoh :
Tentukan rumus umum suku ke-n barisan 16, 8, 4, 2,……,dan tentukan suku ke-20.
Jawab :
$a=16, r=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$
$U_{n}=ar^{n-1}$
$=16\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}$
$=2^{4}\left ( 2^{2-1} \right )^{n-1}$
$=2^{4}\left ( 2 \right )^{-n+1}$
$U_{n}=2^{5-n}$
Rumus suku ke-n dari barisan 16, 8, 4, 2,….. adalah $U_{n}=2^{5-n}$
Jadi $U_{20}=2^{5-20}$
$=2^{-15}$
$=\frac{1}{2^{15}}$
2. b. Rumus untuk Jumah n Deret Geometri
Bentuk umum barisan adalah $a, ar, ar^{2},\cdot \cdot \cdot ,ar^{n-1}$ .suku-suku dari suatu barisan geometri dijumlahkan, maka terjadilah deret geometri.
Adapun rumus jumlah $n$ suku pertama dari deret geometri dinyatakan sebagai $S_{n}$ yang dapat dicari
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdot \cdot \cdot +U_{n-1}+Un$
$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdot \cdot \cdot ar^{n-2}+ar^{n-1}$
$rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdot \cdot \cdot +ar^{n-2}+ar^{n-1}+an^{n}$
$S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}$
$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r},r< 1$ |
$S_{n}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{1-r},r> 1$ |
$a$ adalah suku pertama
$r$ adalah rasio
Contoh :
Hitunglah nilai n agar jumlah deret $2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdot \cdot \cdot +2^{n}=510$
Jawab:
$S_{n}=\frac{a\left ( a^{n}-1 \right )}{r-1}$
$\Leftrightarrow 510=\frac{2\left ( 2^{n}-1 \right )}{2-1}$
$\Leftrightarrow 510=2^{n}-1$
$\Leftrightarrow 2^{n}=256=2^{8}$
$\Leftrightarrow n = 8$
Jadi, $n = 8$
2. c. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga disebut deret geometri tak higga yang dituliskan:
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdot \cdot \cdot $
Dengan $a_{1}$ adalah suku pertama $r$ adalah $rasio$
Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :
$S_{n} = a + ar + ar^{2} + ar^{3} + ... + ar^{n-1}\\ rS_{n} = ar + ar^{2} + ar^{3} +ar^{4}+ ... + ar^{n}$
___________________________________________________ $-$
$S_{n}-rS_{n} = ar-ar^{n}$
$\left ( 1-r \right )S_{n}=a-ar_{n}$
$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$
$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r},-1< r< 1$
Jika $n \to \infty$ maka $\lim_{n \to \infty }S_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-r^{2} \right )}{1-r}$$=\lim_{n \to \infty }\frac{a}{1-r}-\lim_{n \to \infty }\frac{ar^{n}}{1-r}$
1. Jika $\left | r \right |> 1\leftrightarrow r< -1\ r>$ maka :
$S_{\infty }=\lim_{n \to \infty }\frac{a}{1-r}-\lim_{n \to \infty }\frac{ar^{n}}{1-r}$
$=\frac{a}{1-r}-\left ( -\infty \right )$
=$\infty$ disebut deret vergen, berarti tidak mempunyai limit jumlah.
2. Jika $\left | r \right |< 1\leftrightarrow -1< r< 1$ maka :
$\lim_{n \to \infty }=r^{n}=0$
$S_{\infty }=\lim_{n \to \infty }\frac{ar^{2}}{1-r}-\lim_{n \to \infty }\frac{ar^{n}}{1-r}$
$=\frac{a}{1-r}-0\cdot \frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-r}$
Jadi, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r^{'}}-1< r< 1,r\neq 0$ merupakan deret konvergen. Sehingga ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah jika $-1< r < 1.$
Contoh :
1. Hitung limit jumlah dari deret geometri tak hingga:
$1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdot \cdot \cdot $
Jawab :
$a=1\leftrightarrow r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{2}{\frac{3}{1}}=\frac{2}{3}$
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$
2. d. Menuliskan Suatu Deret Aritmatika dan Geometri dengan Notasi sigma
Suatu cara singkat untuk menyatakan bentuk penjumlahan adalah dengan menggunakan notasi Σ ( dibaca: sigma), yaitu merupakan huruf besar Yunani dari huruf S yang merupakan huruf pertama dari “SUM” yang berarti jumlah. Bila $x_{n}+x_{2}+x_{3}+\cdot \cdot \cdot +x_{n}$ merupakan jumlah bilangan-bilangan maka jumlah tersebut dapat dinyatakan sebagai:
$x_{n}+x_{2}+x_{3}+\cdot \cdot \cdot +x_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}$
Indeks penjumlahan yang digunakan pada notasi sigma adalah sembarang huruf kecil dan daerah penjumlahan dapat terhingga((terbatas)) dan dapat pula tak terhingga.
Bila batas bawahnya $a$, batas atasnya $b$ maka $a$ dan $b$ harus bilangan bulat dengan $a\leq b$ batas bawah penjumlahan tidak harus dimulai dengan 1(( angka satu))
Bila batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya $n$ maka penjumlahan itu terdiri atas $n$ suku, sedangkan bila batas bawah penjumlahan $r$ dan batas atasnya $n$ maka penjumlahan terdiri atas $n-r+1$ suku .
Suatu deret tertentu dapat ditulis dalam bentuk notasi sigma dengan cara mencari rumus suku ke-n dari deret tersebut.
Contoh :
1. Tuliskan dalam bentuk notasi sigma.
$1+3+5+7+9+11+13+15$
Jawab :
$1+3+5+7+9+11+13+15$ merupakan deret aritmatika dengan $a=1$ maka $b=2$
$U_{n}=a+\left ( n-1 \right )b$ maka $U_{n} =2n-1$
Jadi $1+3+5+7+9+11+13+15=\sum_{n=1}^{8}\left ( 2n-1 \right )$
Semoga bermanfaat.... Read More
