Sabtu, 29 Agustus 2020

Rumus Barisan Dan Deret



Bimbingan Belajar29. Baris
Baris adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.

Contoh:
2, 4, 6, 8, 10, ... , dst.
1, 3, 5, 7, 9, 11, … , dst.

Deret
Deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Jika suatu barisan di-simbolkan dengan:
$U_{1},U_{2},U_{3}.....U_{n}$, maka $U_{1}+U_{2}+U_{3}.....+U_{n}$ adalah disebut Deret.

Contoh:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 ... $+U_{n}$
1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … $+U_{n}$

1. A. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan “b” $\mathrm{( Bilangan\ bernilai\ tetap )}$

Contoh:
2, 4, 6, 8, 10, ...

Barisan diatas merupakan barisan aritmatika karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama/tetap, yaitu 4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2.
Nilai : 2 inilah yang dinamakan beda, jadi b = 2.

Bentuk umum barisan aritmatika: $a, (a+b), (a+2b), (a+3b)$, …, $(a+(n-1)b)$

Rumus:
Beda : $b=U_{n}-U_{n-1}$
Suku ke-n : $U_{n}=a+\left ( n-1 \right )b$, atau ditulis juga dengan $U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$
Keterangan:
a = $U_{1}$ = Suku pertama,
n = banyak suku
b = Beda,
$U_{n}$ = Suku ke-n

Contoh soal:
1. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: 5, 8, 11, …
Tentukan: Nilai suku ke-15 !

Jawab:
Barisan diatas, b = 3, sehingga $U_{n} = a + (n-1) b$, maka $U_{15} = 5 + (15-1) 3\rightarrow U_{15} = 47$

2. Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 5 dan bedanya = 6, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah …

Jawab:
Diketahui; a = 5 dan b = 6, maka : $U _{10}= 5 + (10-1) 6\rightarrow U_{10} = 59$

3. Diketahui suatu barisan aritmatika suku pertamanya adalah 4 dan suku ke-20 adalah 61.
Tentukan beda barisan aritmatika tersebut!

Jawab:
Diketahui: a = 4,$U_{20}= 61, maka\ beda\ barisan \rightarrow b = ?$
$U_{20}=4+\left ( 20-1 \right )b=61\rightarrow 19b=61-4=57\rightarrow b=\frac{57}{19}=3\left ( jadi\ beda = 3 \right )$

1. B. Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut: $U_{t} = \frac{1 }{2}(a + U_{n})$

Contoh soal:
Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah …

Jawab:
barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131
Diketahui: suku pertama, a = 5, suku ke-n: $U_{n}$ = 131
Maka suku tengah: $U_{t} = \frac{1 }{2}(a + U_{n})\rightarrow U_{t} = \frac{1 }{2}(5 + 131)\rightarrow U_{t}=68$

1. C. Deret Aritmatika $\mathrm{(atau\ disebut\ juga\ deret\ Hitung)}$

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika.
Perhatikan barisan aritmetika berikut :
* 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , $U_{n}$
Jika kita jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut.
* 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + $U_{n}$

Bentuk umum deret aritmatika: $a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b)$
rumus: $S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$ atau ditulis juga : $S_{n}=\frac{n}{2}\left \{ 2a+\left ( n-b \right )b \right \}$ , karena $U_{n}=a+\left ( n-1 \right )b$
keterangan: $U_{n}$ = jumlah n suku pertama.

Contoh soal:
Diketahui deret aritmatika sebagai berikut: 9 + 12 + 15 + . . . + $U_{10}$
Tentukan:
a. Suku ke-10
b. Jumlah sepuluh suku pertama: $S_{10}$

Jawab:
a. Suku ke-10 $\rightarrow U_{10}=a+\left ( n-1 \right )b=9+\left ( 10-1 \right )3=36$
b. Jumlah sepuluh suku pertama:
$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 1+U_{n} \right )\rightarrow S_{10}=\frac{10}{2}\left ( 9+36 \right )=5\left ( 45 \right )\rightarrow S_{10}=225$

1. D. Sisipan pada Barisan Aritmatika

Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:
$\Rightarrow $ Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:
${b}'=\frac{b}{k+1}$

$\Rightarrow $ Banyak suku barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku:
${n}'=n+\left ( n-1 \right )k$

$\Rightarrow $ Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku:
$S'_{n}=\frac{n'}{2}\left ( a+U_{n} \right )$


Keterangan:
b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku
n’ = banyak suku barisan aritmatika baru
n = banyak suku barisan aritmatika lama
k = banyak suku yang disisipkan
$S'_{n}$ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku

Contoh Soal:
Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah …

Jawab:
Diketahui: Deret aritmatika mula-mula: 20 + 116
Suku pertama $( a )$ = 20 dan suku ke-n : $U_{n}=116;\left ( n=2 \right )$
Disiipkan : k = 11 bilangan
Maka banyaknya suku baru : $n’ = n + (n-1) k = 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13$
Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku:
$S'_{n}=\frac{n'}{2}\left ( a+U_{n} \right )\rightarrow S'_{n}=\frac{13}{2}\left ( 20+116 \right )$
Maka :
$S'_{n}=\frac{13}{2}\left ( 20+116 \right )=884$ Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884

2. Barisan Geometri
Bila kita perhatikan pada barisan 1, 2, 4, 8,…, setiap perbandingan dua suku yang berurutan adalah tetap harganya, yaitu:

$\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}\cdot \cdot \cdot =2$

Secara umum $U_{1},U_{2},U_{3}\cdot \cdot \cdot U_{n}$ adalah barisan geometri bila

$\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}=\frac{U_{4}}{U_{3}}=\cdot \cdot \cdot \frac{U_{n}}{U_{n}-1}=konstanta.$

Konstanta ini disebut rasio ((perbandingan)) dan dinyatakan dengan r. pada setiap barisan geometri berlaku:
$\frac{U_{n}}{U_{n}-1}=r$

Jadi,ciri barisan geometri adalah mempunyai rasio yang tetap

2. a. ………………n
Jika suku pertama barisan geometri $U_{1}$ dinamakan $a$ dan rasionya atau perbandingannya $r$ maka diperoleh:
$U_{1}=a=ar^{1-1}$

$\frac{U_{2}}{U_{1}}=r\Leftrightarrow U_{2}=U_{1}r=ar^{2-1}$

$\frac{U_{3}}{U_{2}}=r\Leftrightarrow U_{3}=U_{2}r==arr=ar^{3}=ar^{3-1}$

$\frac{U_{4}}{U_{3}}=r\Leftrightarrow U_{4}=U_{3}r==ar^{2}r=ar^{3}=ar^{4-1}$

Besarnya suku ke-nbarisan geometri dengan melihat pola di atas adalah sebagai berikut.
$U_{n}=ar^{n-1}$

Dengan $U_{n}$ adalah besar suku ke-n
a adalah suku pertama
r adalah rasio ((perbandingan))

Contoh :

Tentukan rumus umum suku ke-n barisan 16, 8, 4, 2,……,dan tentukan suku ke-20.

Jawab :

$a=16, r=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$

$U_{n}=ar^{n-1}$

$=16\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}$

$=2^{4}\left ( 2^{2-1} \right )^{n-1}$

$=2^{4}\left ( 2 \right )^{-n+1}$

$U_{n}=2^{5-n}$

Rumus suku ke-n dari barisan 16, 8, 4, 2,….. adalah $U_{n}=2^{5-n}$

Jadi $U_{20}=2^{5-20}$

$=2^{-15}$

$=\frac{1}{2^{15}}$

2. b. Rumus untuk Jumah n Deret Geometri
Bentuk umum barisan adalah $a, ar, ar^{2},\cdot \cdot \cdot ,ar^{n-1}$ .suku-suku dari suatu barisan geometri dijumlahkan, maka terjadilah deret geometri.
Adapun rumus jumlah $n$ suku pertama dari deret geometri dinyatakan sebagai $S_{n}$ yang dapat dicari

$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+\cdot \cdot \cdot +U_{n-1}+Un$

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdot \cdot \cdot ar^{n-2}+ar^{n-1}$

$rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdot \cdot \cdot +ar^{n-2}+ar^{n-1}+an^{n}$

$S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}$

$S_{n}\left ( a-r \right )=a\left ( 1-r^{n} \right )$

$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r},r< 1$
$S_{n}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{1-r},r> 1$
$S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama deret geometri
$a$ adalah suku pertama
$r$ adalah rasio

Contoh :
Hitunglah nilai n agar jumlah deret $2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdot \cdot \cdot +2^{n}=510$

Jawab:
$S_{n}=\frac{a\left ( a^{n}-1 \right )}{r-1}$

$\Leftrightarrow 510=\frac{2\left ( 2^{n}-1 \right )}{2-1}$

$\Leftrightarrow 510=2^{n}-1$

$\Leftrightarrow 2^{n}=256=2^{8}$

$\Leftrightarrow n = 8$

Jadi, $n = 8$

2. c. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga disebut deret geometri tak higga yang dituliskan:
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdot \cdot \cdot $
Dengan $a_{1}$ adalah suku pertama $r$ adalah $rasio$
Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :

$S_{n} = a + ar + ar^{2} + ar^{3} + ... + ar^{n-1}\\ rS_{n} = ar + ar^{2} + ar^{3} +ar^{4}+ ... + ar^{n}$
___________________________________________________ $-$
$S_{n}-rS_{n} = ar-ar^{n}$

$\left ( 1-r \right )S_{n}=a-ar_{n}$

$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$

$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r},-1< r< 1$
Jika $n \to \infty$ maka $\lim_{n \to \infty }S_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-r^{2} \right )}{1-r}$

$=\lim_{n \to \infty }\frac{a}{1-r}-\lim_{n \to \infty }\frac{ar^{n}}{1-r}$

1. Jika $\left | r \right |> 1\leftrightarrow r< -1\ r>$ maka :

$S_{\infty }=\lim_{n \to \infty }\frac{a}{1-r}-\lim_{n \to \infty }\frac{ar^{n}}{1-r}$

$=\frac{a}{1-r}-\left ( -\infty \right )$

=$\infty$ disebut deret vergen, berarti tidak mempunyai limit jumlah.

2. Jika $\left | r \right |< 1\leftrightarrow -1< r< 1$ maka :

$\lim_{n \to \infty }=r^{n}=0$

$S_{\infty }=\lim_{n \to \infty }\frac{ar^{2}}{1-r}-\lim_{n \to \infty }\frac{ar^{n}}{1-r}$

$=\frac{a}{1-r}-0\cdot \frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-r}$

Jadi, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r^{'}}-1< r< 1,r\neq 0$ merupakan deret konvergen. Sehingga ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah jika $-1< r < 1.$

Contoh :

1. Hitung limit jumlah dari deret geometri tak hingga:

$1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdot \cdot \cdot $

Jawab :
$a=1\leftrightarrow r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{2}{\frac{3}{1}}=\frac{2}{3}$

$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$

2. d. Menuliskan Suatu Deret Aritmatika dan Geometri dengan Notasi sigma
Suatu cara singkat untuk menyatakan bentuk penjumlahan adalah dengan menggunakan notasi Σ ( dibaca: sigma), yaitu merupakan huruf besar Yunani dari huruf S yang merupakan huruf pertama dari “SUM” yang berarti jumlah. Bila $x_{n}+x_{2}+x_{3}+\cdot \cdot \cdot +x_{n}$ merupakan jumlah bilangan-bilangan maka jumlah tersebut dapat dinyatakan sebagai:
$x_{n}+x_{2}+x_{3}+\cdot \cdot \cdot +x_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}$

Indeks penjumlahan yang digunakan pada notasi sigma adalah sembarang huruf kecil dan daerah penjumlahan dapat terhingga((terbatas)) dan dapat pula tak terhingga.
Bila batas bawahnya $a$, batas atasnya $b$ maka $a$ dan $b$ harus bilangan bulat dengan $a\leq b$ batas bawah penjumlahan tidak harus dimulai dengan 1(( angka satu))
Bila batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya $n$ maka penjumlahan itu terdiri atas $n$ suku, sedangkan bila batas bawah penjumlahan $r$ dan batas atasnya $n$ maka penjumlahan terdiri atas $n-r+1$ suku .
Suatu deret tertentu dapat ditulis dalam bentuk notasi sigma dengan cara mencari rumus suku ke-n dari deret tersebut.

Contoh :

1. Tuliskan dalam bentuk notasi sigma.

$1+3+5+7+9+11+13+15$

Jawab :

$1+3+5+7+9+11+13+15$ merupakan deret aritmatika dengan $a=1$ maka $b=2$

$U_{n}=a+\left ( n-1 \right )b$ maka $U_{n} =2n-1$

Jadi $1+3+5+7+9+11+13+15=\sum_{n=1}^{8}\left ( 2n-1 \right )$

Semoga bermanfaat....
Read More